1.5 Linear ODE (선형 ODE)

ODE는 linear ODE와 non-linear ODE로 구분할 수 있고 linear ODE는 Homogenous linear ODE(제차 선형 ODE) 그리고 Non-homogenous linear ODE(비제차 선형 ODE)나눌 수 있다. 그렇다면 우선 Linear ODE가 무엇인지 먼저 알아보도록 하자.

 

Linear ODE(선형  ODE)의 정의: 

 

방정식 내에서 미지의 함수 y와 그의 도함수의 관계가 선형인 ODE

 

표준형은 다음과 같다. 

 

$y'+P(x)y=r(x)$ 

 

만약 다음과 같이 나타나 있다면 그것은 비선형이다. 

 

$y'+P(x)y=r(x)y^2$

 

 

꼴을 변형하여 표준형으로도 만들 수 있다.

 

$f(x)y'+p(x)y=r(x)$

 

=>

 

$y'+\frac{P(x)}{f(x)} y=\frac{r(x)}{f(x)}$

 

 

 

 

 

 

 

그렇다면 Homogenous는 무엇일까? 식을 통해 알아보도록 하자

 

 

 

$y'+P(x)y=0$=>1계 homogenous linear ODE(1계 제차 선형 ODE)

 

$y'+P(x)y=r(x)$=> 1계 Non-homogenous linear ODE(1계 비제차 선형 ODE)

 

(단, $r(x)\neq0$)

 

 

그렇다면 제차 선형 방정식의 해법은 무엇일까?

 

 

Homogenous linear ODE 해법

 

$y'+P(x)y=0$

=>

$dy/dx+P(x)y=0$

=>

$\int_{}^{} \frac {dy}{y} $=$\int_{}^{} -P(x)dx $  (변수분리)

=>

$ln|y|=-\int_{}^{}P(x)dx+C*$

 

$\therefore y=Ce^{\int_{}^{}P(x)dx}$

 

 

제차 선형 방정식의 해법을 알아보았으니 비제차 선형 방정식도 알아보도록 하자

 

 

Non-Homogenous linear ODE 해법(Exact ODE)

 

 

$y'+P(x)y=r(x)$, $r(x)\neq0$

 

=>

 

$dy/dx+ P(x)y=r(x)$

 

=>

 

$(P(x)y -r(x))dx + 1dy =0$

 

$M=Py-r, N=1$ 이므로 $My=P\neq0=Nx$

 

 

not exact ODE !!! 이다

 

그렇다면 1.4에서 배운 내용을 고스란히 적용해보자

 

바로 적분인자이다.

 

 

Let's find integrating factor~!

 

$R=\frac{1}{N}(\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}) = P$

 

$\because (N=1, My=P, Nx=0)$

 

 

=>

 

$\frac{1}{F} \frac {\partial F} {\partial x}= P$

 

=>

$ F=e^{\int_{}^{} P dx} $

 

$F$를 구했으니 원래 식에 곱해준다.

 

 

$ e^{ \int_{}^{} Pdx } (P(x)y-r(x)) $

+

$ e^{\int_{}{}pdx} dy$

= 0

 

빨간 색을 $M$으로 두고 파란 색을 $N$으로 두면 두개는 같다.

 

그리고 $My=Nx$도 성립한다.

 

이제 본격적으로 해를 구해보도록 하자.

 

 

$ \int_{}{} \frac{\partial u}{\partial y} $ = $ e^{\int_{}^{}p dx} $

 

$u=y e^{\int_{}^{} p dx} + l(x)$

 

=>

 

$ \frac {\partial u} {\partial x}$ = $ P(x)y e^{\int_{}^{} p dx} (P(x)y-r(x))$

=>

 

$l'(x)=-r(x)e^{\int_{}^{} P dx} $

 

$ l(x)=- \int_{}^{} re^{\int_{}^{}Pdx}dx+C$

 

$ \therefore u= ye^{\int_{}^{} pdx} - \int_{}^{} re^{\int_{}^{}p dx} dx +C $

 

=>

 

$ye^{\int_{}^{} pdx}=\int_{}^{}re^{\int_{}^{}pdx}dx+C$

 

$\therefore y=e^{ - \int_{}^{} p dx} $  [ $ \int_{}^{} re^{\int_{}^{} pdx} $ + C ]

 

let h=$ \int_{}^{} P(x) dx $

 

 

 

$ y= e^{-h}({\int_{}^{}e^{h}rdx+C})$

 

 

 

예제를 통해 우리가 배운 내용을 적용해보면서 다시 한번 익혀보도록 하자.

 

Ex1)

 

$y'+ytan(x)= sin(2x )  , y(0)=1 $

 

sol)

 

주어진 식은 비제차이며 선형이다. 

 

$P=tan(x), r=sin(2x)=2sin(x)cos(x)$

 

 

 

$h=\int_{}^{} p dx=\int_{}^{} tan(x) dx= ln |sec(x)|$

 

$\therefore y=cos(x)[2 \int_{}^{} sin(x) dx +C]$

 

 

$y(0)=C \times1-2\times1=1$

=>

C=3이므로

 

$y=3cos(x)-2cos^{2}(x)$

 

$3cos(x)$는 초기 데이터이며 $2cos^{2}(x)$는 입력 $2sin(x)$에 대한 응답이다.

 

 

전체 출력= 입력 r에 대한 응답+ 초기 조건에 대한 응답

 

이라는 결론을 도출해 낼 수도 있다.