2.1 Homogenous Linear ODEs of Second Order (2계 제차 선형 상미분방정식)

1계 상미분방정식을 넘어서 2계까지 확장해서 주저진 방정식의 해를 구해보도록 하자. 1장에 있는 내용을 숙지했다면 크게 다르지는 않다. 물론 추가적인 개념과 공식이 존재하지만 연장선 상에 있는 공식들이니 앞에 내용을 먼저 복습하고 돌아오는 것을 추천한다.

 

 

 

 

 

$y'+p(x)y=r(x)$

 

위의 식은 지난 단원들에서 많이 배웠던 1계 선형 상미분방정식의 전형적인 형태이다.

 

그렇다면 2계 선형 상미분방정식의 전형적인 식의 형태의 어떠할까?

우리가 오늘 배울 식의 standard form은 다음과 같다.

 

$y'' +p(x)y'+q(x)=r(x)$ 

 

$y''$  앞의 계수를 1로 만들어주면 우리는 그 식을 standard form이라 칭할 수 있다. 

 

위의 식에서 $ r(x)=0$ 이면 우리는 이를 Homogenous (제차)라고 부른다.

위의 식에서 $ r(x) \neq 0 $ 이면 우리는 이를 Non-homogenous (비제차)라 부른다.

 

 

 

 

다음은 Homo-linear ODE에서 해를 구할 수 있는 방법에 대해 알아보자. 이 방법은 제차 선형 상미분방정식에만 통하는 방법이니 유의하길 바란다. 

 

 

 

 

 

 

Thm1) Superposition Principle (중첩의 원리)

 

$y\small{1}$ ,   $y\small{2} $  : $y''+p(x)y'+q(x)y=0 $ 의 solution이라 하자.  (단, 임의의 구간 $I$ 에서)

 

=>

 

$y=C\small{1}\space y\small{1}+C\small{2}\space y\small{2}$  : Linear Combination (일차 결합)도 위의 방정식의 해가 된다. 

 

그렇다면 어떻게 이런 결론을 도출할 수 있는지 증명해보도록 하겠다. 

 

 

 

 

 

 

proof) Superposition Principle (중첩의 원리)

 

$y1, \space y2$ 가 $y''+p(x)y'+q(x)y=0$ 의 solution이라 가정.

 

$y'' \small{1} + p(x)y' \small{1} + q(x)y \small{1} =0 $

$y'' \small{2} + p(x)y' \small{2} + q(x)y \small{2} =0 $

 

$y=c\small{1} \space y\small{1}+c\small{2} \space y\small{2}$ 을 주어진 방정식에 대입하자.

 

 

$y''+p(x)y'+q(x)y$

 

= $ (c1 y1 + c 2y 2)'' + p(x)(c1y1+c2y2)'+q(x)(c1y1+c2y2)$

= $ c1y1''+c2y2''+p(x)(c1y1'+c2y2')+q(x)(c1y1+c2y2) $

= $ c1( \textcolor{red}{y1'' + p(x)y1'+q(x)y1}) +c2(\textcolor{blue}{y2''+p(x)2y'+q(x)y2}) $

 

 

빨간색 식과 파란색 식은 주저진 가정에 의해서 모두 $0$ 이 된다. 그렇기에 전체 식이 $0$이 된다.

 

따라서 주어진 정리는 성립된다.