1.4 Exact ODEs. Intergrating Factors

오늘은 Exact ODE가 아닌 경우에 어떻게 문제를 다루어야 하는지에 대해 알아보도록 하겠다.

 

다음 예제를 살펴보도록 하자. 23쪽에 등장하는 문제이다. 

 

$- y {\mathrm{d} x} + x{\mathrm{d} y}=0$

 

$ M=-y    N=x $

 

그렇기에

    $ \frac{\partial M }{\partial y}=-1 $

    $ \frac{\partial N }{\partial x} = 1 $

 

이 둘은 같지 않기 때문에 Exact ODE가 아니다.  그러면 이 문제를 풀기 위해서 필요한 것이 무엇일까? 여기서 등장한 것이 바로 적분인자이다. 

 

적분인자의 정의:

 

 

만약 

$P(x,y)dx+Q(x,y)=0$ 는 Exact ODE가 아니지만 $F(x,y)P(x,y)dx +F(x,y)Q(x,y)dy=0$는 Exact이라면 우리는 $F(a,b)$를 적분인자라한다. 

 

 

 

$F(x,y)P(x,y)dx +F(x,y)Q(x,y)dy=0$이 exact ODE가 되기 위한 조건은 다음을 만족하면 된다.

 

\[ \frac{\partial (FP) }{\partial y }\]

=

\[ \frac{\partial (FQ) }{\partial x} \]

 

=>

 

$FyP+FPy=FxQ+FQx$

 

 

case1) 

 

x만의 함수인 적분인자 F(x) 구하는 방법

 

\[ \frac{\partial (F) }{\partial x }=F' \]

\[ \frac{\partial (F) }{\partial y }=0 \]

 

 

$FPy=F'Q+FQx$

를 FQ나누어 주도록 하겠다.

 

$Py/Q=F'/F+Qx/Q$

 

=>

 

$F'/F=(Py-Qx)/Q$

 

위의 식에서의 우변을 $R(x)$라 두자

 

 

\[\int_{}^{} (ln|F|)' dx \]=\[\int_{}^{} R(x) dx \]

 

따라서

 

$F(x)=exp(\int_{}{}R(x) dx )$

 

 

 

 

case2)

 

y만의 함수인 적분인자 $F(y)$ 구하는 방법

 

$Fy=F', Fx=0$

 

 

$F'P+FPy=FQx$를 $FP$로 나눠보도록 하겠다.

 

$ F'/F= \frac {1} { P } (Qx-Py) $

 

 

$R(y)=(Qx-Py)/p$ 라 두자.

 

그 다음은 case1)과 같이 적분을 해보자.

 

 

\[\int_{}^{} (ln|F|)' dy \]=\[\int_{}^{} R(y) dy \]

 

$F(y)=exp(\int_{}{}R(y) dy )$

 

 

이번에는 적분인자를 활용해서 문제를 푸는 것까지 한번 해보도록 하겠다.

 

예제 문제 5번을 보도록 하겠다.

 

$ (e^ {x+y} + ye^y)dx + (xe^y-1) dy = 0,  y(0)=1$

 

 

 

 

step1.

 

$P(x,y)=e^{x+y}+ye^y$

 

=>

 

$Py=e^{x+y}+e^y+ye^y$

 

 

 

 

$Q(x,y)=xe^y-1$

 

=>

 

$Qx=e^y$

 

 

 

$Py \neq Qx$

그렇기에 not exact ODE 이다.

 

 

step2. 적분인자 구하기

 

 

$R=(Py-Qx)/Q=\frac {e^{x+y}+ye^y}{xe^y-1}$

 

$x,y$를 모두 가지고 있기에 성립하지 않는다.

 

 

$R(y)=(Qx-Py)/P=\frac {-e^{x+y}-ye^y}{e^{x+y}+ye^y}=-1$

 

따라서 $F(y)=e^{-y }$

 

이제 F(y)를 곱해서 Exact ODE가 되는지 확인해보자.

 

 

$ F(y)(e^{x+y} + ye^{y})dx + F(y)(xe^{y}-1)dy = 0 $을 전개하여 계산하면 

 

$(e^x+y)dx+(x-e^{-y})dy=0$

 

$My=1=Nx$

 

드디어 Exact ODE를 찾았다!!!!

 

 

step3. 일반해 찾기

 

$ M=e^x+y,  N=x-e^-y $

 

$u(x,y)=\int_{}{}M(x,y)dx+K(y)$

 

$u(x,y)=e^x+xy+k(y)$

 

 

$ \frac{\partial u}{\partial y} = x+ k'(y)$

 

$ = N(x,y) $ 

 

$ = x-e^{-y} $

 

$ \int_{}{}k'(y) dy=\int_{}{}e^{-y} dy $

 

=>

 

$ k(y)=e^{-y}+c* $

 

일반 해: $ u(x,y)=e^{x}+xy+e^{-y}=C$

 

 

step.4 특수해 

 

$y(0)=-1$

 

=> $u(0,-1)=e^0+0+e=C$

 

$u(x,y)=e^x+xy+e^{-y}$

 

 

 

 

답: $ u(x,y)= e^x+xy+e^{-y}=e+1 $