1.5 Population Dynamics -개체군 역학

1. exponential growth (지수적 증가)

 

$y(t)$ : t시간의 인구

 

$y'=dy/dt=ry$ (r>0) : 현재 인구의 변화율

 

$y(0)=A$

 

$y'/y=r$

 

=>

 

$ln|y|=rt+c$

 

=>

 

$y(t)=e^{rt+c}$

 

$y(t)=Ae^{rt}$

 

위의 식은 지수적인 증가만을 의미한다.

하지만 인구는 늘어날 수도 있지만 줄어들 수도 있다. 

그렇다면 개체의 수의 감소를 어떻게 수학적으로 모델링할 수 있을까?

이때 사용하는 것이 logistic growth이다.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. logistic growth

 

 

logisitc equation: $y'=Ay-By^2$

 

if B=0 --> (i)

 

$-By^2$    --> Breaking term (제동항)

 

제동항은 개체수의 무한한 증가를 방지한다. 

 

$y'=Ay(1-\frac{B}{A}y) $

 

여기서 y의 크기에 따라 다르게 해석할 수 있다. 

 

만약 $y<\frac{B}{A}y$ 이면

  $y'>0$

 

=>

 

$y<\frac{A}{B}$ 동안 지속적으로 증가

 

 

만약 $y>\frac{B}{A}y$ 이면

  $y'<0$

 

=>

 

$y>\frac{A}{B}$ 동안 지속적으로 감소

 

 

$y'=Ay(1-\frac{A}{B}y)$

 

 

이때$ y=0, \frac{A}{B}$ 를 critical point라고 한다.