1. 극한의 정의 <1.1 극한의 엄밀한 정의 (연습문제)>

1. $lim_{x \rightarrow -2}(1-2x)=5$ 임을 증명하시오.

 

 

일단 모든 $\epsilon$에 대해, $|x+2|<\delta$이면 $|1-2x-5|<\epsilon$인 $\delta$를 찾도록 하겠습니다.

 

$|-2x-4|=2|x+2|< 2\delta = \epsilon$  이므로 $\delta= \epsilon /2$라고 할 수 있습니다. 

 

그리고 $\delta= \epsilon /2 >0$ 이므로 양수 $\delta$가 존재합니다. 

 

 

 

2. 입실론- 델타 용법을 이용하여 $lim_{x \rightarrow a}\sqrt{x}=\sqrt{a}$임을 증명하시오.

 

 

모든 $\epsilon$에 대해, $|x-a|<\delta$이면 $|\sqrt{x}-\sqrt{a}|<\epsilon$인 $\delta$를 찾도록 하겠습니다. 

 

이번 문제는 1번 문제와 달리 조금 주의할게 있습니다. 물론 크게 어렵지는 않습니다. 

 

$|\sqrt{x}-\sqrt{a}|$ = $\frac{(\sqrt x-\sqrt a)(\sqrt x+\sqrt a)}{\sqrt x+\sqrt a}$

 

$\frac{\delta}{\sqrt x+\sqrt a}<\frac{\delta}{\sqrt a}=\epsilon$ 이므로 $\delta= \sqrt a \epsilon$ 입니다. 

 

하지만 여기서 제약조건이 등장합니다.  $\delta$  = min( a, $\sqrt a \epsilon$ )입니다. 

 

반드시 델타가 더 작은 값을 갖도록 만들어 주어야합니다.