1. 극한의 정의 - <1.1 극한의 엄밀한 정의>

오늘은 극한의 엄밀한 정의에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 사실 고등학교 수학에서는 극한에 대해서 엄밀하게 정의를 내리고 시작하지 않습니다. 왜냐하면 고등학교 교과과정에서 등장하는 수식과 함수에 극한을 취할 경우, 직관적으로 이해하는 것이 훨씬 수월하기 때문입니다. 하지만 대학 미적분학부터는 이 과정이 조금 난해지기 시작합니다. 우리가 보지 못한 함수들의 극한 유무를 판별할 수 있어야 하기 때문입니다. 그래서 오늘은 극한의 정의를 깊이있게 공부하고 넘어가도록 하겠습니다. 

 

정의

 

1. $\lim_{x \rightarrow a}f(x)=L$

 

 

:임의의 $\delta$에 대해서 , $0<|x-a|<\delta$이면 $|f(x)-L|<\epsilon$을 만족하는 $\delta>0$가 존재한다. 

 

 

극한의 엄밀한 정의

 

 

극한의 정의를 유심히 살펴보면 $\epsilon$(입실론)과 $\delta$(델타)가 존재한다는 것을 알 수 있습니다. 입실론과 델타는 계속 작아지고 있는 상태를 의미합니다. 물론 음수로 작아진다는 뜻은 아닙니다. 0으로 가까이 가고 있다는 뜻입니다. 마치 $\infty$가 계속 커지고 있는 것과 유사합니다. 

 

$|x-a|$는 x와 a의 거리를 의미하며, $|f(x)-L|$는 함수와 함수값의 거리를 의미합니다. 그리고 그 거리가 짧아지고 있다는 것은 변수 가 특정한 수로 접근하고 있다는 뜻입니다.

 

즉, x가 a로 다가갈수록 f(x)도 L로 점점 다가가고 있다고 볼 수 있는 것입니다.

 

 

 

 

 

이번에는 함수가 무한대로 발산할 때를 엄밀하게 정의해보도록 하겠습니다. 

 

 

2. $\lim_{x \rightarrow a}f(x)=\infty$ 

 

:임의의 양수 M에 대하여,  $0<|x-a|<\delta$이면 $f(x)>M$을 만족하는 $\epsilon$이 존재한다. 

 

여기서 M이 조금 생소하게 느껴질 수도 있지만 매우 큰 수로 이해하면 좋을 것 같습니다.

 

 

 

 

 

 

3. $\lim_{x \rightarrow a}f(x)$ = $- \infty$

 

:임의의 양수 M 에 대하여, $0<|x-a|<\delta$이면 $f(x)>-M$을 만족하는 $\epsilon>0$가 존재한다. 

 

2번과 매우 유사하게 정의된다는 것을 알면 좋을 것 같습니다.

 

 

 

4. $lim_{a \rightarrow \infty}f(x)=L$

 

:임의의 양수 $\epsilon$에 대해서 , $x>N$이면 $|f(x)-L|<\epsilon$을 만족하는 $N>0$가 존재한다. 

 

 

여기서 등장하는 N은 무수히 큰 수를 의미합니다. 위에서 언급한 M가 똑같은 의미입니다.

 

 

 

5. $lim_{a \rightarrow -\infty}f(x)=L$

 

:임의의 양수 $\epsilon$에 대해서 , $x<-N$이면 $|f(x)-L|<\epsilon$을 만족하는 $N>0$가 존재한다. 

 

 

 

  

다음 포스트에는 간단한 연습문제 풀이를 해보도록 하겠습니다.